फाइबोनैचि अनुक्रम सूत्र: फाइबोनैचि संख्याएं कैसे खोजें

फाइबोनैचि अनुक्रम संख्याओं का एक पैटर्न है जो पूरे प्रकृति में फिर से प्रकट होता है।

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• फाइबोनैचि अनुक्रम क्या है?
• फाइबोनैचि अनुक्रम की उत्पत्ति
• फाइबोनैचि संख्या सूत्र
• फाइबोनैचि अनुक्रम और स्वर्ण अनुपात
• प्रकृति में फाइबोनैचि अनुक्रम
• और अधिक जानें
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फाइबोनैचि अनुक्रम क्या है?

फाइबोनैचि अनुक्रम संख्या सिद्धांत में सबसे प्रसिद्ध सूत्रों में से एक है और एक रैखिक पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित सबसे सरल पूर्णांक अनुक्रमों में से एक है। संख्याओं के फाइबोनैचि अनुक्रम में, अनुक्रम में प्रत्येक संख्या इससे पहले की दो संख्याओं का योग है, जिसमें 0 और 1 पहली दो संख्याएँ हैं। संख्याओं की फाइबोनैचि श्रृंखला निम्नानुसार शुरू होती है: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, और इसी तरह। फाइबोनैचि का अनुक्रम उन्नत गणित और सांख्यिकी, कंप्यूटर विज्ञान, अर्थशास्त्र और प्रकृति में इसके अनुप्रयोगों के लिए उपयोगी है।

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फाइबोनैचि अनुक्रम की उत्पत्ति

फाइबोनैचि अनुक्रम पहली बार प्राचीन संस्कृत ग्रंथों में 200 ईसा पूर्व के रूप में प्रकट होता है, लेकिन यह क्रम 1202 तक पश्चिमी दुनिया में व्यापक रूप से ज्ञात नहीं था जब इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो पिसानो बोगोलो ने इसे अपनी गणना की पुस्तक में प्रकाशित किया था जिसे कहा जाता है। लिबर अबासी . लियोनार्डो भी पीसा के मोनिकर लियोनार्डो द्वारा चला गया, लेकिन यह 1838 तक नहीं था कि इतिहासकारों ने उन्हें फिबोनाची उपनाम दिया (मोटे तौर पर 'बोनैकी के बेटे' का अनुवाद)। फाइबोनैचि अनुक्रम को लोकप्रिय बनाने के अलावा, फाइबोनैचि की पुस्तक लिबर अबासी हिंदू-अरबी अंकों (1, 2, 3, 4, आदि) के उपयोग की वकालत की और पूरे यूरोप में रोमन अंक प्रणाली (I, II, III, IV, आदि) को बदलने में मदद की।

में लिबर अबासी , फाइबोनैचि अनुक्रम का उपयोग वास्तव में खरगोश की जनसंख्या वृद्धि से संबंधित एक काल्पनिक गणित समस्या का उत्तर देने के लिए किया गया था: यदि खरगोशों की एक जोड़ी हर महीने के अंत में संभोग करती है, तो खरगोशों की एक नई जोड़ी को उनके संभोग के एक महीने बाद जन्म दें, और सभी नए जोड़े खरगोश उसी पैटर्न का पालन करते हैं, एक वर्ष में कितने जोड़े या खरगोश मौजूद होंगे? यहां बताया गया है कि आप इस समस्या का उत्तर कैसे देना शुरू करेंगे:

• से शुरू 1 खरगोशों की जोड़ी।
• पहले महीने के अंत में, अभी भी केवल 1 खरगोशों की जोड़ी जब से उन्होंने संभोग किया है, लेकिन अभी तक जन्म नहीं दिया है।
• दूसरे महीने के अंत में, वहाँ हैं दो पहली जोड़ी के बाद से खरगोशों के जोड़े ने अब दूसरी जोड़ी को जन्म दिया है।
• तीसरे महीने के अंत में, वहाँ हैं 3 खरगोशों के जोड़े। ऐसा इसलिए है क्योंकि पहली जोड़ी ने तीसरी जोड़ी को जन्म दिया है, लेकिन दूसरी जोड़ी ने केवल संभोग किया है।
• चौथे महीने के अंत में, अभी हैं 5 खरगोशों के जोड़े। ऐसा इसलिए है क्योंकि पहली जोड़ी ने दूसरी जोड़ी को जन्म दिया है, और दूसरी जोड़ी ने अब अपनी पहली जोड़ी को जन्म दिया है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह 1, 1, 2, 3, 5 पैटर्न फाइबोनैचि अनुक्रम का अनुसरण करता है। यदि आप 12 महीने तक जारी रखते हैं, तो जोड़े की संख्या 144 के बराबर होगी।

फाइबोनैचि संख्या सूत्र

फाइबोनैचि श्रृंखला में प्रत्येक क्रमिक फाइबोनैचि संख्या की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें

जहां 𝐹 अनुक्रम में वां फाइबोनैचि संख्या है, और पहले दो नंबर, 𝐹0 और 𝐹1 क्रमशः 0 और 1 पर सेट हैं।

इस सूत्र के साथ एकमात्र समस्या यह है कि यह एक पुनरावर्ती सूत्र है, जिसका अर्थ है कि यह पूर्ववर्ती संख्याओं का उपयोग करके अनुक्रम की प्रत्येक संख्या को परिभाषित करता है। इसलिए यदि आप फाइबोनैचि अनुक्रम में दसवीं संख्या की गणना करना चाहते हैं, तो आपको पहले नौवें और आठवें की गणना करनी होगी, लेकिन नौवीं संख्या प्राप्त करने के लिए आपको आठवीं और सातवीं की आवश्यकता होगी, और इसी तरह।

किसी भी पूर्ववर्ती संख्या के बिना फाइबोनैचि अनुक्रम में किसी भी संख्या को खोजने के लिए, आप एक बंद-रूप अभिव्यक्ति का उपयोग कर सकते हैं जिसे बिनेट का सूत्र कहा जाता है:

बिनेट के सूत्र में, ग्रीक अक्षर फी (φ) एक अपरिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जिसे सुनहरा अनुपात कहा जाता है: (1 + √ 5)/2, जो निकटतम हजारवें स्थान पर पूर्णांक 1.618 के बराबर होता है।

फाइबोनैचि अनुक्रम और स्वर्ण अनुपात

सुनहरा अनुपात (या सुनहरा खंड) एक अपरिमेय संख्या है जिसके परिणामस्वरूप दो संख्याओं का अनुपात उनके योग और दो संख्याओं में से बड़ी संख्या के अनुपात के समान होता है। फाइबोनैचि अनुक्रम सुनहरे अनुपात से निकटता से जुड़ा हुआ है क्योंकि जैसे-जैसे फाइबोनैचि संख्या बढ़ती है, किसी भी दो लगातार फाइबोनैचि संख्याओं का अनुपात सुनहरे अनुपात के करीब और करीब होता जाता है।

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प्रकृति में फाइबोनैचि अनुक्रम

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जाने-माने खगोल-भौतिकीविद् नील डेग्रसे टायसन आपको वस्तुनिष्ठ सत्य खोजना सिखाते हैं और जो आप खोजते हैं उसे संप्रेषित करने के लिए अपने उपकरण साझा करते हैं।

वास्तविक दुनिया में आपको फाइबोनैचि अनुक्रम और सुनहरा अनुपात कहां मिल सकता है, इसके बारे में काफी गलत सूचना है; आप जो पढ़ सकते हैं उसके बावजूद, गीज़ा में पिरामिड बनाने के लिए सुनहरे अनुपात का उपयोग नहीं किया गया था, और नॉटिलस सीशेल फिबोनाची अनुक्रम के आधार पर नई कोशिकाओं को विकसित नहीं करता है।

लेकिन फाइबोनैचि अनुक्रम और सुनहरे अनुपात के पीछे ये गणितीय गुण पूरे प्रकृति में कई तरह से प्रकट होते हैं। उदाहरण के लिए, आप कुछ पौधों पर पत्तियों की सर्पिल व्यवस्था (जिसे फ़ाइलोटैक्सिस कहा जाता है) में, या पाइनकोन, फूलगोभी, अनानास के सुनहरे सर्पिल पैटर्न और सूरजमुखी में बीजों की व्यवस्था में सुनहरा अनुपात पा सकते हैं। इसके अतिरिक्त, एक फूल पर पंखुड़ियों की संख्या आमतौर पर एक फाइबोनैचि संख्या होती है।

इसके अलावा, एक मधुमक्खी ड्रोन का वंश वृक्ष फाइबोनैचि अनुक्रम का अनुसरण करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक नर ड्रोन एक निषेचित अंडे से निकलता है और उसके केवल एक माता-पिता होते हैं, जबकि मादा मधुमक्खियों के दो माता-पिता होते हैं। इसका परिणाम एक ड्रोन के परिवार के पेड़ में होता है जिसमें एक माता-पिता, दो दादा-दादी, तीन परदादा-दादी, पांच परदादा-दादी, और इसी तरह पूरे फाइबोनैचि अनुक्रम में होते हैं।

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लाओ मास्टरक्लास वार्षिक सदस्यता नील डेग्रसे टायसन, क्रिस हैडफील्ड, जेन गुडॉल, और अन्य सहित व्यवसाय और विज्ञान के दिग्गजों द्वारा पढ़ाए गए वीडियो पाठों तक विशेष पहुंच के लिए।